ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Разглядим применение способа всеохватывающих амплитуд в случае по­следовательного и параллельного соединений частей R, L, С.

Последовательное соединение R, L, С.

Положим, что в уравнении Кирхгофа

(3.4)

данными являются характеристики R, L, С и гармоническое напряжение u = Umcos(t+)на зажимах цепи, а разыскиваемой величиной является ток i. Ввиду того, что тут рассмат­ривается установившийся ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ режим цепи гармонического тока, решение этого дифференциального уравне­ния должно дать гармоническую функцию вида

,

где Im и ( – j) – пока неведомые амплитуда и исходная фаза тока.

Пусть в согласовании с предыду­щим параграфом данное гармони­ческое напряжение символизируется всеохватывающей функцией , а разыскиваемый гармонический ток – комп­лексной функцией , комплекс­ные амплитуды ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ напряжения и тока равны соответственно:

; .

Сложение, дифференцирование и интегрирование гармонических функций в уравнении (3.4) заменя­ются теми же математическими опе­рациями над действительными ча­стями всеохватывающих функций:

. (3.5)

Операции над действительными частями всеохватывающих функций мо­гут быть изменены операциями над самими всеохватывающими функциями с следующим выделением дейст­вительной части ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ приобретенного резуль­тата. Разъясняется это коммутатив­ностью операций сложения, диффе­ренцирования и интегрирования относительно символической опера­ции Re. Итак, (3.5) преобразуется последующим образом:

.

Приобретенное уравнение удовлет­воряется для хоть какого момента вре­мени. Потому заключенные в скоб­ки всеохватывающие выражения, от ко­торых берется действительная часть, должны быть равны друг дружке. Производя дифференцирование ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ и интегрирование, получаем:

. (3.6)

Тут следует направить внима­ние на то, что при интегрировании функции еjt неизменная интегри­рования опущена, потому что в рас­сматриваемом установившемся ре­жиме цепи гармонического тока электронные заряды либо напряже­ния на емкостях представляют гар­монические функции, не содержа­щие неизменных слагающих ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ.

В итоге сокращения всех частей уравнения (3.6) на множитель еjt выходит алгебраиче­ское всеохватывающее уравнение

. (3.7)

Ток Im может быть вынесен за скобки. При всем этом вводится условное обозначение для всеохватывающего сопротивления рассматривае­мой электронной цепи

. (3.8)

Таким макаром, выходит урав­нение

, (3.9)

выражающее закон Ома для комп­лексных амплитуд.

Разделив обе части уравнения ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ (3.9) на , получим закон Ома для всеохватывающих дейст­вующих значений

. (3.10)

Как следует, всеохватывающее со­противление электронной цепи равно отношению всеохватывающего на­пряжения на зажимах данной цепи к всеохватывающему току в этой цепи.

Всеохватывающее сопротивление Z представлено в выражении (3.8) в алгебраической форме. Та же ве­личина в тригонометрической и по­казательной (полярной) формах имеет ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ вид:

(3.11)

Тут – модуль комп­лексного числа Z – представляет полное сопротивление цепи, а j - аргумент всеохватывающего числа Z:

; .

На основании (3.9) всеохватывающая амплитуда тока

,

где φ – исходная фаза тока. Как следует, разыскиваемый ток в тригонометрической форме

,

что совпадает с результатом, полу­ченным ранее.

На рисунке 3.4 дана геометрическая интерпретация на всеохватывающей плос­кости ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ уравнения (3.10). Набросок 3.4, а относится к случаю, когда ре­активное сопротивление цепи имеет индуктивный нрав (Х > 0) и со­ответственно ток отстает по фазе от напряжения (φ > 0). Набросок 3.4, б относится к случаю, когда реактив­ное сопротивление цепи имеет ем­костный нрав (Х < 0), и потому ток опережает по фазе напряжение (φ

а б

Набросок 3.4 Векторные диаграммы ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ для последователь­ной цепи R, L, С

при х > 0(а) и x < 0 (б)

В случае чисто реактивной цепи (R = 0) ток отстает от напряжения по фазе на /2, если сопротивление цепи индуктивное, и опережает на­пряжение на /2 при емкостном со­противлении цепи.

Как видно из векторных диа­грамм, приведенных на рисунке ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ 3.4, UR = RI – напряжение на сопротив­лении R (совпадает по фазе с то­ком I), UL = jLI – напряжение на индуктивности L (опережает ток I на угол /2) и UC = –jI ×1/(C) – напряжение на емкости С (отстает от то­ка I на угол /2).

Геометрическая сумма векторов дает вектор приложен­ного к цепи напряжения

.

Активная слагающая ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ на­пряжения Ua = UR, реактивная слагающая Up = UL + Uc и суммарное напряжение U об­разуют треугольник напряже­ний.

Треугольник сопротивле­ний, схожий треугольнику напряжений и повернутый от­носительно него на угол   j (набросок 3.5), представляет геометрическую интерпретацию уравнений (3.11). Его положе­ние не находится в зависимости от исходных фаз ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ и ; сопротивление R от­кладывается на всеохватывающей плоскости в положительном на­правлении реальной оси, а реактивное сопротивление х зависимо от его знака от­кладывается в положительном (х > 0) либо отрицательном (х < 0) направлении надуманной оси (набросок 3.5, а и б).

Набросок 3.5 Треугольник сопротивлений при х > 0 (а) и х < 0 (б)

Параллельное соединение ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ R,L, С.

Пользуясь рассужде­ниями, подобными приведен­ными выше, можно придти к всеохватывающей форме законов Ома и Кирхгофа для электронной цепи, состоящей из частей R, L и С, соединенных параллельно.

Ограничиваясь записью для всеохватывающих действующих значе­ний, пропорциональных комплекс­ным амплитудам, имеем в соответ­ствии с первым законом Кирхгофа

; (3.12)

тут ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ – ток в сопротивлении R (совпадает по фазе с напря­жением U);

– ток в индуктивности (отстает от напряжения на /2);

– ток в емкости (опережает напряжение на /2).

Выражение

(3.13)

представляет собой комплекс­ную проводимость рассмат­риваемой цепи; g и b – активная и реактивная проводимости цепи.

Уравнение

(3.14)

выражает закон Ома в всеохватывающей форме. Как следует, всеохватывающая проводимость ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ электронной цепи равна отношению всеохватывающего то­ка в данной цепи к всеохватывающему напряжению на ее зажимах.

Тригонометрическая и показа­тельная (полярная) формы комп­лексной проводимости имеют сле­дующий вид:

тут – модуль комплексно­го числа Y – представляет полную проводимость цепи, а (-φ) – аргу­мент всеохватывающего числа Y:

.

На основании (3.14) комплекс ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ­ное действующее значение тока равно

,

что соответствует гармоническому току

.

На рисунке 3.6 дана геометрическая интерпретация на всеохватывающей плоскости уравнения (3.12). Набросок 3.6, а относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный нрав (b > 0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения (φ > 0). Набросок 3.6, б относится к случаю, когда реактив­ная проводимость цепи имеет емко­стный нрав ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ (b < 0) и соответст­венно ток опережает по фазе напря­жение (φ < 0).

Набросок 3.6 Векторные диаграм­мы для параллельной цепи R, L, С

при b > 0 (а) и b < 0 (б)

Активная слагающая тока Ia = IR, реактивная слагающая Ip =IL + IC и суммарный ток I образуют тре­угольник токов.

Треугольник проводимостей, по­добный треугольнику токов ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ и повер­нутый относительно последнего на угол y против хода часовой стрелки (набросок 3.7), служит геометрической интерпретацией выражения (3.13): активная проводимость g отклады­вается на всеохватывающей плоскости в положительном направлении дей­ствительной оси, а реактивная про­водимость b зависимо от ее знака откладывается в отрицатель­ном (b > 0) либо положительном ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ (b < 0) направлении надуманной оси (набросок 3.7, а и б).

+

а б

Набросок 3.7 Треугольник проводимостей при b > 0 (а) и b < 0 (б)

В таблице 3.1 дана сводка уравне­ний частей цепи в всеохватывающей форме.

Таблица 3.1 Всеохватывающая запись уравнений частей цепи

Элемент Напряжение Ток
Сопротивление
Индуктивность
Емкость

Следует направить внимание на то, что всеохватывающее сопротивление индуктивного элемента равно ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ jL, а емкостного элемента равно ; всеохватывающая проводи­мость составляет соответственно:

и .

При поочередном соедине­нии R, L и С складываются в комп­лексной форме сопротивления, а при параллельном соединении – прово­димости.

В таблице 3.2 приведены выраже­ния всеохватывающих сопротивлений и проводимостей цепи для различ­ных сочетаний частей R ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ , L, С.


Таблица 3.2 Выражение всеохватывающих сопротивлений

и проводимостей

Цепь Z при поочередном соединении Y при параллельном соединении
R, L
R, C
R, L, C


zakonodatelnim-sobraniem.html
zakonodatelno-opredelennie-organi-upravleniya-akcionernim-obshestvom.html
zakonodatelnoe-obespechenie-garantij-i-prav-korennih-malochislennih-narodov-severa-v-hanti-mansijskom-avtonomnom-okruge-yugre.html